機率簡史

黃文璋

國立高雄大學應用數學系

考古的證據顯示,賭博的歷史源遠流長,幾乎自人類文明之始就有了。人類的天性是好賭的,由於相信一切機會、命運皆為上天所掌控,當有爭執或遇到難以決定的事,往往以抽籤決定。我國古代藉卜卦,西方藉投擲獸骨以對未來做一些預測。與機率同義的一個字stochastic (隨機的),就是源自古希臘文,指一個人能預測未來。現今台灣廟裡擲筊杯,西方的藉樸克牌算命,皆仍有賭的意味。又熟悉金庸(1996a)所著射鵰英雄傳的人皆知,東邪黃藥師精於奇門五行之術,在桃花島依著諸葛亮八陣圖的遺法種植花樹。郭靖第一次上桃花島,立時就迷失了方向,只見東南西北都有小徑,卻不知走向那一處好。這裡面當然就是用到若不懂奇門五行之術,隨機地選一條小徑,會選中對的路之機率很小的意思。至於射雕英雄傳中最愛賭的當屬老頑童周伯通,他與西毒歐陽鋒賭海上鯊魚是否真盡數被殺,一時輸了,自己跳到海中餵鯊魚。當然諸位應也記得,周伯通後來找到一隻未死的鯊魚,且為了扳回勝局,與那隻鯊魚在大海中共存了好一些日子。

考古學家在東西方都曾發掘出不少各式各樣的賭具。例如,在出土的古埃及墳墓的壁上,繪有以羊的後足跟製成的稱為astragal之賭具的賭戲。這種骨頭有四個面,並不對稱,每次投擲會落在四個面之一。至於今日流通的骰子,估計約是在兩千多年前,由astragal演變成的。骰子出土的地方極多,包括英國。但在中古世紀(五世紀末至十五世紀中葉)時,astragal仍在使用。今日骰子遊戲的規則也是在那時形成的。

中古世紀時,在歐洲教會的影響力很大,那時教會並不鼓勵賭博。不過在中古世紀末期及文藝復興的早期,賭風復甦起來。為了求得致勝的策略,賭徒們由記錄留意到在投擲數個astragal或骰子時,某些形式較易出現。

另外,經驗的累積,也使人們得到一些簡易的計算法。不過直到十七世紀中葉之前,進展並不是很大。西元1645年,一位法國的貴族de Meŕe (1607-1684)Pascal(1623-1662)提出一個在賭博中遇到有關丟骰子的問題。Pascal又寫信去問費馬(Fermat, 1601-1665)此問題,而展開兩人間著名的通信。Pascal及費馬此二位法國的大數學家對這種問題的感興趣,刺激了歐洲不少數學家也開始探討類似的問題。至於第一篇關於機率的著作(De Ratiocinnis in Alea Ludo, 論賭博的計算),是荷蘭物理學家Huygens (1629-1695)於西元1657年所作的。又由於James (Jakob) Bernoulli (1654-1705)de Moivre (1667-1754)等人的努力,在十八世紀中葉前,一般的關於求賭博中所涉及的機率的方法,便發展的很完全了。

十七世紀也是機率的姊妹學科,統計學開始萌芽的時期。為了徵兵或徵稅,歐洲的各國政府開始收集如出生、死亡及結婚等人口統計學的資料。在西元1662年,英國的Graunt (1620-1674),發表了首度將出生及死亡記錄,經統計式處理的報告,顯示收集這些資料的好處。十六、十七世紀的時候,由於商業的興起,為了減少諸如船難等意外造成的損失,保險及精算業產生了。精算師製作了壽命表及意外事件表,然後計算損失以定出保險費。

人口統計學家及精算師在收集資料不久後便發現,他們資料中的變異之型式,可與賭局中的一些結果相對應。例如,連續幾個小孩都是男孩或都是女孩,與投擲銅板連續出現正面(或反面)類似。因此自然現象的變異(如一即將出生嬰兒的性別),似乎可以上帝在玩一賭局來當做模式。若對賭局有充分的了解,有助於預測諸如男孩出生率等。反過來說,由於在賭局中,有些結果較易出現,由觀測值也可推測上帝在玩什麼賭局(此即統計推論, statistical inference)。因此發展機率理論,也是為了統計上的需求,此角色機率論直至今日仍在扮演。

不少人以為是因賭博的興趣促使機率論的發展,de Meŕe也常被視為狂熱的賭徒。事實上,以賭局來討論機率,只是取其方便易懂而已。數學家探討問題的原動力,主要還是出於好奇心或因科學上的需要。如前所述,經濟的發展帶動保險及統計學的興起,促使了機率論的成長。當然經濟發展的同時,亦使賭博興盛,引起探討其中牽涉到的機率之興趣,也使很多機率問題的研究,化為賭局中的模型。

與數學的其他領域相比,機率論當然是發展較晚的。在古希臘時代,代數及幾何學便已有很多深入且完整的探討。分析的起源也不算晚。唯有機率論,與費馬時代流行的一些數論中的問題相比,de Meŕe所提的問題顯然難度較小。但那時尚無法有系統地來解決賭博中所遇到的一些問題。費馬時代,數學家也不認為機率論是一個自成一體系的數學中的領域。

十八及十九世紀,是機率開始應用廣泛的時期。大數學家高斯(Gauss, 1777-1855),由於在天文及物理中量測的需要,發展誤差理論 (law of errors)。後來比利時的Quetelet (1796-1874),亦採用此理論來描述人類在社會及生物上行為的變異。

雖然機率論在統計學裡有很大的貢獻,但在十八世紀及十九世紀初,大多數的物理學家,並不視機率論為物理世界結構的基礎。後來英國物理學家Maxwell (1831-1879),以分子速度中的機率為基礎,導出氣體的運動行為;德國物理學家Planck (1858-1947),以原子及分子之能狀態的機率,來描述放射的過程。這種先驅的工作,引導許多科學家及數學家的投入,想找出一種理論,以將各種能以機率當做模式,來解釋自然現象的變異之方法整合起來。

這以後機率論的應用日益廣泛,成為許多學科的理論基礎,並帶動了這些學科的發展。而為了解決實際應用時所遇到的問題,也促使數學家更深入探討機率的理論。這期間也將機率的意義弄清楚,並且公理化,使機率論能與數學中一些傳統的領域,如代數、分析及幾何學等分庭抗禮,各領風騷了。至於其應用的範圍則幾乎包括所有科學、工程、醫學及工業。人們也學到了對一件事不再問是否會發生,而是問發生的機率為何?看過寇特羅素(Kurt Russell)主演的747絕地悍將 (Executive Decision)?對於那位劫機者,主角寇特羅素領導的小組,經過聲音比對,電腦銀幕上顯示此人為×××的機率(所謂voice match probability)98.9%。事實上有法國的牛頓 (Newton, 1642-1727)之稱的數學家Laplace (1748-1827),曾在西元1812年發表一篇有關機率論之不朽的論文Théorie Analytique des Probabiltés)早就說過這門源自考慮賭博中的機運的科學,必將成為人類知識中最重要的一部分。生活中最重要的問題中的大部分,將都只是機率的問題

參考文獻

1.      金庸(1996a). 射鵰英雄傳,第三版。遠流出版社,台北。

本文取自

黃文璋(1999). 數學欣賞. 第十六章機率與生活。華泰文化事業股份有限公司,台北。